TB-SEIRZ-Q: моделирование эпидемиологии туберкулеза в России с множественной лекарственной устойчивостью и карантином

Цель исследования – разработка и системный анализ комплексной математической модели эпидемиологии туберкулеза в России, учитывающей множественную лекарственную устойчивость (МЛУ-ТБ) и карантинные меры, для формализации динамики инфекции и информационной поддержки управленческих решений.

Методы. Использована методология системного анализа. Разработана детерминированная математическая модель (TB-SEIRZ-Q), описываемая системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Модель расширяет классические подходы за счет введения латентной стадии, стратификации инфицированных по чувствительности к лечению и бактериовыделению, а также раздельных карантинных групп. Проведен анализ устойчивости модели, вычислено базовое репродуктивное число (R₀) методом следующего поколения. Параметры идентифицированы на основе официальных данных по России. Выполнены численное моделирование динамики эпидемии и анализ чувствительности ключевых параметров.

Результаты. Получена модель TB-SEIRZ-Q, адекватно описывающая специфику ТБ. Расчетное базовое репродуктивное число R₀ ≈ 2,258, что указывает на неустойчивость состояния без болезни и переход системы к эндемическому равновесию. Результаты численного моделирования демонстрируют высокое соответствие реальным данным заболеваемости ТБ в России за 2018–2023 гг. (R² = 0,92). Анализ чувствительности выявил ключевую роль скоростей передачи инфекции и изоляции в величине R₀. Увеличение эффективности изоляции до 0,5 снижает R₀ ниже 1 (до 0,95), обеспечивая возможность ликвидации эпидемии.

Заключение. Разработанная модель TB-SEIRZ-Q является эффективным инструментом системного анализа эпидемии туберкулеза в России. Она обеспечивает формализацию динамики инфекции с учетом МЛУТБ и карантинных мер, а также информационную основу для оценки и оптимизации стратегий управления эпидемией. Модель позволяет прогнозировать развитие ситуации и количественно оценивать влияние различных вмешательств, таких как усиление карантинных мер.

1. Cooper I., Mondal A., Antonopoulos C. G. A SIR model assumption for the spread of COVID-19 in different communities // Chaos, Solitons & Fractals. 2020. N 139. P. 110057. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110057

2. Estimation of the transmission risk of the 2019-nCoV and its implication for public health interventions / B. Tang, X. Wang, Q. Li. [et al.] // Journal of Clinical Medicine. 2020. N 9(2). P. 462. https://doi.org/10.3390/jcm9020462

3. Silva C. J., Torres D. F. M. Mathematical modeling of tuberculosis: A literature review // Mathematical Modelling and Optimization of Engineering Problems. Cham: Springer, 2020. P. 123–142. https://doi.org/10.1007/978-3-030-20241-6_7

4. Cohen T., Murray M. Modeling epidemics of multidrug-resistant M. tuberculosis of heterogeneous fitness // Nature Medicine. 2004. N 10(10). P. 1117–1121. https://doi.org/10.1038/nm1110

5. The number of privately treated tuberculosis cases in India: an estimation from drug sales data / N. Arinaminpathy, D. Batra, S. Khaparde [et al.]. // The Lancet Infectious Diseases. 2016. N 16(11). P. 1255–1260. https://doi.org/10.1016/S1473-3099(16)30259-6

6. Global prevalence and burden of multidrug-resistant tuberculosis from 1990 to 2019 / H. Lv, X. Zhang, X. Zhang [et al.] // BMC Infectious Diseases. 2024. N 24. P. 243. https://doi.org/10.1186/s12879-024-09079-5

7. World Health Organization.Global Tuberculosis Report 2024. Geneva: WHO, 2024. URL: https://www.who.int/teams/global-tuberculosis-programme/tb-reports/global-tuberculosis-report-2024 (дата обращения: 11.06.2025).

8. Мельниченко О. А., Романюха А. А. Модель эпидемиологии туберкулеза. Анализ данных и оценка параметров // Математическое моделирование. 2008. Т. 20, № 8. С. 107–128.

9. Progression risk and treatment coverage in modeled estimates of tuberculosis incidence, United States, 2010–2019 / N. A. Menzies, E. Wolf, D. Connors [et al.] // The Lancet Public Health. 2022. N 7(7). P. e649–e657. https://doi.org/10.1016/S2468-2667(22)00126-7

10. Pang C. J., Delamater P. L. Spatial patterns of bovine and human extra-pulmonary tuberculosis in Malawi // International Journal of Infectious Diseases. 2020. N 91. P. 159–166. https://doi.org/10.1016/j.ijid.2019.11.018

11. Analysis of the impact of crises on tuberculosis incidence in Ukraine amid pandemics and war / O. Prokopenko, O. Pavlenko, S. Prokopenko [et al.] // Scientific Reports. 2025. N 15(1). P. 58931. https://doi.org/10.1038/s41598-025-58931-8

12. Chakraborty D., Batabyal S., Ganusov V. V. A brief overview of mathematical modeling of the within-host dynamics of Mycobacterium tuberculosis // Frontiers in Applied Mathematics and Statistics. 2024. N 10. P. 1355373. https://doi.org/10.3389/fams.2024.1355373

13. Sex differences in tuberculosis burden and notifications in low- and middle-income countries: a systematic review and meta-analysis / K. C. Horton, P. MacPherson, R. M. G. J. Houben, R. G. White, E. L. Corbett // LoS Medicine. 2016. N 13(9). P. e1002119. https://doi.org/10.1371/journal.pmed.1002119

14. Такуадина А. И., Имангалиев Ш. И. Определение математической модели распространения эпидемии туберкулеза для Казахстана // Вестник Алматинского университета энергетики и связи. 2019. № 46(1). С. 32–37. https://vestnik-aues.kz/ru/jurnal/2019/1

15. Silva C. J., Torres D. F. M. Optimal control of tuberculosis: a review // Mathematical Biosciences and Engineering. 2020. N 17(5). P. 5483–5516. https://doi.org/10.3934/mbe.2020296

16. Dynamics and optimal control of a multi-drug resistant tuberculosis model in a heterogeneous population // F. B. Agusto, J. Cook, M. A. Khan, M. Guevara-Souza // Mathematical Biosciences. 2023. N 360. P. 109013. https://doi.org/10.1016/j.mbs.2023.109013

17. Khajanchi S., Das D. K., Kar T. K. Global dynamics and control strategies of a heterogeneous tuberculosis model with multiple infectious compartments // Nonlinear Dynamics. 2021. N 106(4). P. 3467–3495. https://doi.org/10.1007/s11071-021-06909-4

18. 25 years of surveillance of drug-resistant tuberculosis: achievements, challenges, and way forward / A. S. Dean, O. Tosas Auguet, P. Glaziou [et al.] // The Lancet Infectious Diseases. 2022. N 22(7). P. e191–e196. https://doi.org/10.1016/S1473-3099(21)00808-2

19. Bhunu C. P., Mushayabasa S., Tchuenche J. M. A theoretical assessment of the effects of case detection and treatment on the transmission dynamics of tuberculosis // Bull. Math. Biol. 2011. N 73(6). P. 1333-1357. https://doi.org/10.1007/s11538-010-9568-6

20. Паролина Л. Е., Докторова Н. П., Отпущенникова О. Н. Социально-экономические детерминанты и математическое моделирование в эпидемиологии туберкулеза (обзор литературы) // Современные проблемы науки и образования. 2020. № 6. URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=30299 (дата обращения: 11.06.2025).

21. Mathematical model of tuberculosis with seasonality, detection, and treatment / J. Zhang, Y. Takeuchi, Y. Dong, Z. Peng // Infectious Disease Modelling. 2024. N 9(2). P. 83– 500. https://doi.org/10.1016/j.idm.2024.02.006