Модель обработки информации в коэффициентной обратной задаче для алгебраического многочлена

Цель исследования заключается в разработке модели описания и оценки эффективности решения коэффициентной обратной задачи анализа и обработки информации об алгебраическом многочлене с заданными коэффициентами членов младших степеней в условиях влияния погрешности входных данных на точность решения.

Методы. В качестве базового математического аппарата используется методология решения обратных задач с приближением функций интерполяционным полиномом Лагранжа. В условиях равномерной непрерывной нормы погрешности входных данных при оценке эффективности решения коэффициентной обратной задачи предлагается использовать минимальное значение целевой функции в виде минимума функции Лебега. При выводе явных формул оптимального плана координат узлов сетки аппроксимации предлагается применить альтернансную характеристику экстремального полинома.

Результаты. В качестве базовых элементов математической модели анализа и обработки информации об алгебраическом многочлене в решении коэффициентной обратной задачи использованы интерполяционные полиномы Лагранжа с числовой оценкой эффективности решения по значению минимума функции Лебега при оптимальном плане координат узлов сетки аппроксимации.

Заключение. В ходе проводимых исследований решалась задача разработки модели описания и оценки эффективности решения коэффициентной обратной задачи анализа и обработки информации об алгебраическом многочлене с частично заданными коэффициентами членов младших степеней и с влиянием погрешности входных данных на точность решения. Показано, что для количественной оценки эффективности решения задачи следует использовать значение целевой функции в виде минимума функции Лебега с вычислением коэффициентов приближенного многочлена интерполяционным полиномом Лагранжа. Для повышения точности распределения координат узлов сетки аппроксимации получены явные формулы оптимального плана координат путем построения экстремального полинома степени, равной степени исследуемого алгебраического многочлена, с числом точек чебышёвского альтернанса, совпадающим со степенью полинома.

1. Bakushinsky A. B., Kokurin M. M., Kokurin M. Yu. Regularization Algorithms for Ill- Posed Problems. Inverse and Ill-Posed Problems Series, 61. Boston: De Gruyter, 2018. 326 p. https://doi.org/10.1515/9783110557350.

2. Перельмутер А. В. Обратные задачи строительной механики // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2020. Т. 22, № 4. С. 83101. https://doi.org/10.31675/1607-1859-2020-22-4-83-101.

3. Ватульян А. О., Плотников Д. К. Обратные коэффициентные задачи в механике // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2019. № 3. С. 37-47. https://doi.Org/10.15593/perm.mech/2019.3.04.

4. Cheney E. W., Kincaid D. R. Numerical Mathematics and Computing. Belmont: Thomson Brooks/Cole, 2013.

5. Локтионов А. П. Чебышёвский альтернанс при аппроксимации начальных условий обратной задачи Коши // Известия Юго-Западного государственного университета. 2021. Т. 25, № 3. С. 86-102. https://doi.org/10.21869/2223-1560-2021-25-3-86-102.

6. Кабанихин С. И. Обратные задачи и искусственный интеллект // Успехи кибернетики. 2021. Т. 2, № 3. С. 33-43. https://doi.org/10.51790/2712-9942-2021-2-3-5.

7. Boykov I. V., Krivulin N. P. An Approximate Method for Recovering Input Signals of Measurement Transducers // Measurement Techniques. 2022. Vol. 64. P. 943-948. https://doi.org/10.1007/s11018-022-02026-3.

8. Smirnova A., Bakushinsky A. On iteratively regularized predictor-corrector algorithm for parameter identification // Inverse Problems. 2020. Vol. 36, N 12. P. 30. https://doi.org/10.1088/1361-6420/abc530.

9. Балакин Д. А., Пытьев Ю. П. Редукция измерения при наличии субъективной информации // Математическое моделирование. 2018. Т. 30, № 12. С. 84-110.

10. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N. Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics. Inverse and Ill-Posed Problems Series 52. Berlin; New York: De Gruyter, 2008. 438 p. https://doi.org/10.1515/9783110205794.

11. Loktionov A. P. Regularization of the lattice time function of the signal in the communication channel // Telecommunications and Radio Engineering. 2013. Vol. 72, N 2. P. 161-171. https://doi.org/10.1615/TelecomRadEng.v72.i2.70.

12. Локтионов А. П. Информационная система анализа балочных элементов под комбинированной нагрузкой // Строительная механика и расчет сооружений. 2021. № 2. С. 45-52. https://doi.org/10.37538/0039-2383.202L2.45.52.

13. Кудрявцев К. Я. Алгоритм построения полинома наилучшего равномерного приближения по экспериментальным данным // Вестник национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». 2019. Т. 8, № 5. С. 480-486. https://doi.org/10.1134/S2304487X1905002X.

14. Калиткин Н. Н., Колганов С. А. Построение аппроксимаций, удовлетворяющих чебышевскому альтернансу // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2020. № 91. С. 33. https://doi.org/10.20948/prepr-2020-91.

15. Kalenchuk-Porkhanova A. Best Chebyshev approximation for compression of big information arrays // Proceedings of the 10th International Scientific and Practical Conference named after A. I. Kitov "Information Technologies and Mathematical Methods in Economics and Management (IT&MM-2020)". October 15-16, 2020. Moscow, 2020. P. 1-13.

16. Verbrugge M. W., Wampler C. W., Baker D. R. Smoothing methods for numerical differentiation to identify electrochemical reactions from open-circuit-potential data // Journal of The Electrochemical Society. 2018. Vol. 165, N 16. P. A4000-A4011. https://doi.org/10.1149/2.0951816jes.

17. Ibrahimoglu B. A. Lebesgue functions and Lebesgue constants in polynomial interpolation // Journal of Inequalities and Applications. 2016. Vol. 93. P. 1-15. https://doi.org/ 10.1186/s13660-016-1030-3.

18. Loktionov A. P. Information measuring system of numerical differentiation for the analysis of elements of mechanical structures // Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics. 2018. Vol. 12, N 2. P. 53-71. https://doi.org/10.24874/jsscm.2018.12.02.04.

19. Шакиров И. А. Полное исследование функций Лебега, соответствующих классическим интерполяционным полиномам Лагранжа // Известия вузов. Математика. 2011. № 10. C. 80-88.

20. Золотарёв Е. И. Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наиболее отклоняющихся от нуля. Л.: Изд-во Академии наук СССР, 1932. С. 1-59. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.101.

21. Агафонова И. В., Малозёмов В. Н. Экстремальные полиномы, связанные с полиномами Золотарёва // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 65, № 7, вып. 1. С. 3-14. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.101.

22. Алиев М. С. Об одной классификации линейно независимых систем функций // Вестник Дагестанского государственного университета. Серия 1: Естественные науки. 2021. Т. 36, № 1. С. 15-23. https://doi.org/10.21779/2542-0321-2021-36-1-15-23.

23. Малозёмов В. Н. Что даёт информация об альтернансе? // Избранные лекции по экстремальным задачам. СПб.: Издательство ВВМ, 2017. Ч. 2. C. 259-267.

24. Агафонова И. В., Малозёмов В. Н. Экстремальные полиномы, связанные с полиномами Золотарёва // Доклады Академии наук. 2016. Т. 5, вып. 467. С. 255-256. https://doi.org/10.7868/S0869565216090036.

25. Denisov A. M. Iterative method for solving an inverse coefficient problem for a hyperbolic equation // Differential Equations. 2017. Vol. 53. P. 916-922. https://doi.org/10.1134/S0012266117070084.

26. Малозёмов В. Н., Тамасян Г. Ш. Этюд на тему полиномиальной фильтровой задачи (n = 3) // Избранные лекции по экстремальным задачам. СПб.: Издательство ВВМ, 2017. Ч. 2. C. 305-315.