Малай Николай Владимирович, д-р физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической и математической физики
ул. Победы 85, г. Белгород 308015
Nikolay V. Malay, Dr. of Sci. (Physico-mathematical), Professor of the Department of Theoretical and Mathematical Physics
85 Pobeda str., Belgorod 308025
Пономарев Олег Петрович, канд. техн. наук, доцент каф. организации и технологии защиты информации
ул. Садовая 116а, г. Белгород 308023
Cand. of Sci. (Engineering), Associate Professor of the Department of Organization and Technology of Information Protection
116a Sadovaya str., Belgorod 308023
Малай Иван Николаевич, магистрант кафедры информационных технологий
ул. Костюкова 46, г. Белгород 308012
Ivan N. Malay, Undergraduate of the Department of Information Technology
46 Kostyukova str., Belgorod 308012
Цель исследования заключается в создании математической модели, позволяющей рассчитывать в широком интервале температур зависимость коэффициента вязкости жидкости от температуры с необходимой относительной погрешностью.
Методы. В качестве базовых методов использовался метод нелинейного поиска и наименьших квадратов. В процессе исследования зависимости вязкости жидкости от температуры была создана математическая модель, реализованная в виде полуэмпирической формулы, которая представляет собой экспоненциально-степенной вид зависимости вязкости жидкости от температуры. Анализ структуры математической модели показал, что полученная модель является нелинейной. Применения только алгоритмов нелинейного поиска не гарантирует однозначного решения задачи, что связано с возможным наличием нескольких локальных экстремумов математической модели, т. е. различной ее чувствительности к изменению отдельных искомых параметров модели. Метод наименьших квадратов, который обычно применяется для решения линейных математических моделей, не имеет недостатков методов нелинейного поиска. Поэтому для решения поставленной задачи использовался смешанный метод, сочетающий нелинейный поиск и метод наименьших квадратов.
Результаты. В ходе исследования математической модели, реализованной в виде полуэмпирической формулы, был разработан обобщенный алгоритм решения задачи, сочетающий нелинейный поиск и метод наименьших квадратое. Программа на языке C++, созданная по разработанному алгоритму, показала приемлемую эффективность - достаточно высокое быстродействие и устойчивость решения. В качестве целевой функции для идентификации использовалась сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от модельных. Результаты численных расчетов показали, что относительная погрешность получаемых моделей зависит от моделируемой жидкости. Так для воды, где зависимость вязкости от температуры близка к линейной, отклонения модельных значений от экспериментальных не превышают двух процентов. Численное моделирование также показало, что чем выше нелинейность зависимости вязкости от температуры (например, для глицерина), тем больше будут отклонения некоторых модельных значений от экспериментальных. В таких случаях качество модели можно повысить, разделив экспериментальные данные на два и более температурных отрезка. В этом случае имеется несколько математических моделей, обладающих для своего температурного интервала более высокой точностью моделирования.
Заключение. Проведенные исследования показали, что представленная математическая модель позволяет рассчитывать изменение коэффициента вязкости жидкости в широком интервале температур с определенной заданной наперед необходимой относительной погрешностью.
The purpose of research is to create a mathematical model that allows us to calculate the dependence of the viscosity coefficient of a liquid on the temperature over a wide temperature range with the necessary relative error.
Methods. The method of nonlinear search and least squares was used as the basic methods. In the process of studying the dependence of liquid viscosity on temperature, a mathematical model was created, implemented in the form of a semi-empirical formula, which is an exponential-power form of the dependence of liquid viscosity on temperature. Analysis of the structure of the mathematical model showed that the resulting model is nonlinear. The use of only nonlinear search algorithms does not guarantee an unambiguous solution of the problem, which is due to the possible presence of several local extremes of the mathematical model, i e. its different sensitivity to changes in individual desired model parameters. The least squares method, which is usually used to solve linear mathematical models, does not have the disadvantages of non-linear search methods. In this case, there are several mathematical models that have a higher simulation accuracy for their temperature range.
Results. In the course of studying the mathematical model implemented in the form of a semi-empirical formula, a generalized algorithm for solving the problem was developed, combining nonlinear search and the method of least squares. The program in C++, created according to the developed algorithm, showed acceptable efficiency - a fairly high speed and stability of the solution. The sum of squared deviations of the experimental values from the model values was used as an objective function for identification. The results of numerical calculations showed that the relative error of the obtained models depends on the simulated fluid. So for water, where the dependence of viscosity on temperature is close to linear, the deviations of the model values from the experimental ones do not exceed two percent. Numerical simulations also showed that the higher the nonlinearity of the viscosity-temperature dependence (for example, for glycerol), the greater the deviations of some model values from the experimental ones. In such cases, the quality of the model can be improved by dividing the experimental data into two or more temperature segments. In this case, there are several mathematical models, each for its own temperature range, with higher modeling accuracy.
Conclusion. The conducted studies have shown that the presented mathematical model allows us to calculate the change in the viscosity coefficient of a liquid in a wide temperature range with a certain required relative error set in advance.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.